Regelungstechnik

[helpme]

Hallo,

suche jemand der Regelungstechnik checkt (Hurwitz-Kriterium usw) und im
Raum VS wohnt.

Wäre nennt wenn sich jemand meldet.

Gruß Student

 

[Andreas]

suche jemand der Regelungstechnik checkt (Hurwitz-Kriterium usw) und im
Raum VS wohnt.

Wäre nennt wenn sich jemand meldet.

Hallo Student.

Bist du denn der einzige dort, der RT hört, kann dir keiner deiner
Kommilitonen weiterhelfen und ist weder der Prof noch einer seiner
Mitarbeiter bereit, dir mal ne Frage zu beantworten (und Bücher gibt es auch
keine)?

Na gut:


In der RT ist es von interesse, ob ein System stabil ist oder nicht. Die
(bibo-) Stabilität lässt sich nun anhand der Übertragungsfunktion des
Systems bestimmen, indem man überprüft, ob alle Polstellen der
Übertragungsfunktion einen negativen Realteil besitzen.
D.h., man müsste die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen. - Wenn es
nicht gerade vom Grad zwei ist, wird die Sache per Hand etwas aufwändiger,..
Also hat man nach Möglichkeiten gesucht, auf "einfache" Art und Weise
entscheiden zu können, ob ein Polynom nur Nullstellen mit negativem Realteil
besitzt.
Hurwitz~ und Routh~ sind nun zwei dieser Möglichkeiten.

Hurwitz-Polynom:
Ein Polynom Qn(s)=an*s^n + ... + a2*s^2 + a1*s + a0 mit reellen
Koeffizienten a0,..,an wird als Hurwitz-Polynom bezeichnet, wenn sämtliche
Nullstellen in der linken offenen s-Halbebene liegen (also negativen
Realteil besitzen) - was genau dann der Fall ist, wenn alle Koeffizienten
a0,..,an und die n führenden Hurwitz-Determinanten D1,..Dn positiv sind.

Bleibt also noch zu klären, was diese Hurwitz-Determinanten sind:
Im folgenden werde ich die Elemente einer Zeile einer Matrix durch ein
Leerzeichen trennen, die Spalen durch ein Komma:

| a b |
| c d |
also als [a b, c d] darstellen.


D1 = a1

D2 = det [a1 a3, a0 a2]

D3 = det [a1 a3 a5, a0 a2 a4, 0 a1 a3]

....


Man bildet also immer die Teildeterminanten (oder wie man das nun auch
bezeichnen mag) folgender Matrix:

| a1 a3 a5 a7 ... |
| a0 a2 a4 a6 ... |
| 0 a1 a3 a5 ... |
| 0 0 a1 a3 ... |
| .. .. .. .. ... |


Beispiel: Q4(s) = s^4 + 8*s^3 + 18 s^2 + 16s +5

Die Matrix:

| 16 8 0 0 |
| 5 18 1 0 |
| 0 5 18 1 |

1.) alle Koeffizienten sind positiv
2.) D1 = 16, D2 = 16*18-5*8 = 248, D3 = .. = 1728, D4 = ... = 1728
=> alle Di positiv ~> Hurwitz-Polynom ~> Übertragungsfunktion mit Q4(s) als
Nenner ist bibo-stabil. (Sofern keine Kürzungen zwischen Nenner und Zähler
aufgetreten sind auch asymtotisch stabil)

(Nicht auszuschließen, dass ich mich irgendwo vertippt habe)

Andreas.
(und nein, ich wohne nicht in deiner Nähe)