Quantisierungsrauschen / std.dev. einer kontinuierlichen Fkt

Hallo,

ich habe das Quantisierungsrauschen noch nicht so ganz verstanden:
Eine Quantisierung auf eine Binbreite von B hat ein Sigma des
Quantisierungsfehlers von B/sqrt(12). Das ist soweit klar. Aber wie
kann man das berechnen?
Das Grundprinzip ist mir klar: Der Quantisierungsfehler ist
gleichverteilt zwischen -B/2 und B/2. Aber wie komme ich von der
kontinuierlichen Funktion "1" zur Standardabweichung?
Ich wuerde von der Summe uebergehen zum Integral (um die Wurzel zu
sparen
die Varianz):
var = 1/N * sum_{i=1}^N(x_i - avg(x_i))^2

=> var = 1/(x2-x1) * int_x1^x2 ( (f(x) - avg(x))^2 dx )

hier also
var = 1/(2B) * int_{-B}^B ( (1 - 0)^2 dx )
und da stimmt's nicht. Warum ist der Term im Integral nicht 1^2,
sondern x^2?
Ich kaeme auf 1/2B * [1]_{-B}^B = 1...

Blondie

 

[Henning Paul]

blond@habmalnefrage.de schrieb:

Das Grundprinzip ist mir klar: Der Quantisierungsfehler ist
gleichverteilt zwischen -B/2 und B/2. Aber wie komme ich von der
kontinuierlichen Funktion "1" zur Standardabweichung?

Nicht "1". Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte muß "1" ergeben.
Also (1/B).

Ich wuerde von der Summe uebergehen zum Integral (um die Wurzel zu
sparen
die Varianz):
var = 1/N * sum_{i=1}^N(x_i - avg(x_i))^2

Das ist die Formel für die empirische Varianz. Dann muß aber 1/(N-1) da
stehen.

Du suchst die Leistung einer kontinuierlich verteilten Variablen, das heißt,
das zweite Moment, nicht Zentralmoment (obwohl das in diesem Fall weil
mittelwertfrei übereinstimmt).

Also Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariable.

E{X^2}=\limits_{-\infty}^{\infty}\int X^2 f_X(x) dx
=\limits_{-B/2}^{B/2}\int X^2 (1/B) dx
=(1/3B)*((B^3/8)-(-B^3/8))=(1/3B)*(B^3/4)=B^2/12.

Gruß
Henning
--
henning paul home: http://www.geocities.com/hennichodernich
PM: henningpaul@gmx.de , ICQ: 111044613

 

[Jan Bruns]

<blond@habmalnefrage.de> schrieb im Newsbeitrag

ich habe das Quantisierungsrauschen noch nicht so ganz verstanden:
[..]
Das Grundprinzip ist mir klar: Der Quantisierungsfehler ist
gleichverteilt zwischen -B/2 und B/2.

Meinst Du zwischen -LSB/2 und LSB/2?

In diesem Intervall ist der Quantisierungsfehler aber doch sicher nicht
gleichverteilt, sondern fällt von beiden Intervallgrenzen her
zur Intervallmitte linear ab.

Damit ist der grösste auftretende Fehler +-LSB/2,
und der Erwartungswert des absoluten Quantisierungsfehlers LSB/2.

Kann man (in Zusammenhang mit Elektronik) noch etwas anderes
unter dem Begriff "Quantisierungsrauschen" verstehen? Mir ist
jedenfalls nicht klar, was Du eigentlich berechnen willst, und
gehe daher davon aus, daß dies auch anderen Lesern hier so geht.

Gruss

Jan Bruns

 

[Henning Paul]

Jan Bruns schrieb:

Meinst Du zwischen -LSB/2 und LSB/2?

In diesem Intervall ist der Quantisierungsfehler aber doch sicher nicht
gleichverteilt, sondern fällt von beiden Intervallgrenzen her
zur Intervallmitte linear ab.

Man stellt sich vor, der Quantisierer arbeitet so, daß er einen Wert e[k]
zum kontinuierlichen Signal x[k] so hinzuaddiert, daß wir auf den
quantisierten Wert q[k] kommen. B sei hier mal die Quantisierungsstufe. Ist
(x[k] mod B) gleichverteilt, so muß auch e[k] in ]-B/2:B/2] gleichverteilt
sein - wenn man rundet. Wenn man nur abschneidet, in ]-B:0]. Und diese
addierte Größe e[k] kann man somit als Rauschen beschreiben.

Gruß
Henning
--
henning paul home: http://www.geocities.com/hennichodernich
PM: henningpaul@gmx.de , ICQ: 111044613

 

Das Grundprinzip ist mir klar: Der Quantisierungsfehler ist
gleichverteilt zwischen -B/2 und B/2. Aber wie komme ich von der
kontinuierlichen Funktion "1" zur Standardabweichung?

Nicht "1". Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte muß "1" ergeben.
Also (1/B).

Ok. Ist eigentlich auch logisch, weil alle Ereignisse zusammen ja
Wahrscheinlichkeit 1 haben sollten. Nur sehe ich das immer erst, wenn's
schon dasteht...

Ich wuerde von der Summe uebergehen zum Integral (um die Wurzel zu
sparen
die Varianz):
var = 1/N * sum_{i=1}^N(x_i - avg(x_i))^2

Das ist die Formel für die empirische Varianz. Dann muß aber 1/(N-1) da
stehen.

Da habe ich mal gehört, dass es regelrechte Glaubenskriege über N
oder N-1
gibt... -- bitte nicht jetzt anfangen! ;-)
Letzendlich habe ich mir einen Spruch gemerkt: "Wenn das einen
Unterschied
macht, ist N zu klein...".

Du suchst die Leistung einer kontinuierlich verteilten Variablen, das heißt,
das zweite Moment, nicht Zentralmoment (obwohl das in diesem Fall weil
mittelwertfrei übereinstimmt).

Also Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariable.

E{X^2}=\limits_{-\infty}^{\infty}\int X^2 f_X(x) dx
=\limits_{-B/2}^{B/2}\int X^2 (1/B) dx
=(1/3B)*((B^3/8)-(-B^3/8))=(1/3B)*(B^3/4)=B^2/12.

Danke. Die Rechnung an sich ist mir klar, ich habe meinen Denkfehler
beim
Übergang von der Summe zum Integral gesucht.
Mittlerweile habe ich verstanden, daß x_i n-mal vorkommt und n f(x_i)
entspricht. Damit kann ich den Übergang vollziehen.

Blondie